C9 22.02.2023
miércoles, 22 de febrero de 2023 8:14
Índice
Módulo 2
Objetivos Específicos
1. Calculará los valores de las funciones circulares de arcos cuadrantales.
2. Calculará las coordenadas de puntos terminales de arcos cuyas longitudes son múltiplos o
submúltiplos de π.
3. Determinará el valor exacto de la función de un arco, conocidas las coordenadas correspondientes del
punto terminal en la circunferencia unitaria, asociado al arco de longitud dada.
4. Determinará el valor de las seis funciones circulares para el respectivo valor del ángulo, conociendo el
punto de intersección de la recta que une el origen con el punto indicado y la circunferencia unitaria.
5. Determinará el valor de las cinco funciones circulares faltantes para
un ángulo, conociendo el valor de una de ellas y el cuadrante en que
queda localizado el punto terminal.
ESQUEMA RESUMEN
Funciones
circulares.
→
Funciones circulares de arcos
múltiplos de
π
↓
Determinación del valor
exacto de las funciones
circulares.
→↓
↓
→
Determinación del valor de todas las
ecuaciones circulares de un arco
dado.
Cálculo de las coordenadas
de sus puntos terminales.
→↑
2.1 Valores de las funciones circulares para los números reales 0, π/2, π,3/2 π, 2π
Tabla 2.1.1
Ejemplo 1:
Encontrar el valor exacto de
ta n π
Solución:
Se emplea la tabla 2.1.1
Resultado:
ta n π
= 0
Ejemplo 2:
Encontrar el valor exacto de sec
3
π
2
Solución:
Se emplea la tabla 2.1.1
Resultado:
se c
No
existe
3
π
2
Ejemplo 3:
Encontrar el valor exacto de csc
3
π
2
Solución:
Se emplea la tabla 2.1.1
Resultado:
cs c
= −1
3
π
2
2.2 VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS π/ 4 , π/ 6 , π / 3 Y SUS MÚLTIPLOS
Figura 9
+ = 1
x
2
y
2
+ = 1
z
2
z
2
2 = 1
z
2
z
=
1
2
−−
√
z
= = ∗ = = 0. 707
1
2
√
1
2
√
2
√
2
√
2
√
2
Neutro multiplicativo:
a*1=a
Inverso multiplicativo:
ab=1 -> ->
b
=
1
a
= 1
a
a
∗ 1 = ∗ =
1
2
√
1
2
√
2
√
2
√
2
√
2
Segunda propuesta:
∗ 1 = ∗ =
1
2
√
1
2
√
3
√
3
√
3
√
6
√
=
a
a
√
a
√
Figura 11
Tabla 2.2.1
Grados Radianes x y
45º
π
4
2
√
2
2
√
2
135º
3
π
4
−
2
√
2
2
√
2
225º
5
π
4
−
2
√
2
−
2
√
2
315º
7
π
4
2
√
2
−
2
√
2
Figura 13 Figura 17
Figura 18
Figura 19
Tabla 2.2.2
Grados Radianes x y
60º
π
3
1
2
3
√
2
120º
2
π
3
−
1
2
3
√
2
240º
4
π
3
−
1
2
−
3
√
2
300º
5
π
3
1
2
−
3
√
2
csc
= = =
π
3
1
y
1
1
3
√
2
2
3
√
∗ =
2
3
√
3
√
3
√
2
3
√
3
+ =
1
2
2
3
√
+ 4
3
√
2
3
√
+ =
1
2
2
3
√
3
3 + 4
3
√
6
Figura 21
Tabla 2.2.3
Grados Radianes x y
30º
π
6
3
√
2
1
2
150º
5
π
6
−
3
√
2
1
2
210º
7
π
6
−
3
√
2
−
1
2
330º
11
π
6
3
√
2
−
1
2
Ejemplo 4:
Encontrar el valor exacto de sen
3
π
4
Solución:
Se emplea la tabla 2.2.1
Resultado:
sen
=
3
π
4
2
√
2
Ejemplo 5
Encontrar el valor exacto de tan
5
π
4
Solución:
Se emplea la tabla 2.2.1
Resultado:
tan
= 1
5
π
4
Ejemplo 6:
Encontrar el valor exacto de
sec
5
π
3
Solución:
Se emplea la tabla 2.2.2
Resultado:
sec
= 2
5
π
3
Ejemplo 7:
Encontrar el valor exacto de
ctg
11
π
6
Solución:
Se emplea la tabla 2.2.3
Resultado:
ctg
= −
11
π
6
3
√
2.3 DADO EL VALOR DE UNA FUNCIÓN, ENCONTRAR EL VALOR DE TODAS LAS DEMÁS
FUNCIONES
Ejemplo
8:
Para un valor de θ el punto P(θ) queda localizado sobre el segmento de recta que
une los puntos (0,0) y (3,4) (Figura 26). Encontrar el valor de todas las funciones
circulares de θ.
Fugura 26
Solución:
Se emplea:
Distancia entre 2 puntos
AB
=
+
( − )
x
2
x
1
2
( − )
y
2
y
1
2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−
√
Tabla 1.3.1 De la definición de las funciones trigonométricas y recíprocas.
cosα
= =
x
Ca
h
se c α
= =
h
Ca
1
x
senα
= =
y
Co
h
cs c α
= =
h
Co
x
y
ta n α
= =
Co
Ca
x
y
co t α
= =
Ca
Co
y
x
Ejemplo 9, 11:
Solución:
Se emplea:
Distancia entre 2 puntos
AB
=
+
( − )
x
2
x
1
2
( − )
y
2
y
1
2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−
√
Tabla 1.3.1 De la definición de las funciones trigonométricas y recíprocas.
cosα
= =
x
Ca
h
se c α
= =
h
Ca
1
x
senα
= =
y
Co
h
cs c α
= =
h
Co
x
y
ta n α
= =
Co
Ca
x
y
co t α
= =
Ca
Co
y
x
Cuadrante en
que se localiza
P
(
α
)
sen
α
=
y
cos
α
=
x
ta n α
= ,
x
≠ 0
y
x
1 + + +
2 + - -
3 - - +
4 - + -
Ejemplo 10:
Solución:
Se emplea:
Distancia entre 2 puntos
AB
=
+
( − )
x
2
x
1
2
( − )
y
2
y
1
2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−
√
Tabla 1.3.1 De la definición de las funciones trigonométricas y recíprocas.
cosα
= =
x
Ca
h
se c α
= =
h
Ca
1
x
senα
= =
y
Co
h
cs c α
= =
h
Co
x
y
ta n α
= =
Co
Ca
x
y
co t α
= =
Ca
Co
y
x
Ejemplo 12, 13:
Solución:
Se emplea:
Distancia entre 2 puntos
AB
=
+
( − )
x
2
x
1
2
( − )
y
2
y
1
2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−
√
Tabla 1.3.1 De la definición de las funciones trigonométricas y recíprocas.
cosα
= =
x
Ca
h
se c α
= =
h
Ca
1
x
senα
= =
y
Co
h
cs c α
= =
h
Co
x
y
ta n α
= =
Co
Ca
x
y
co t α
= =
Ca
Co
y
x
Periodo de las funciones trigonométricas.
Resumen
2.1 Valores de las funciones circulares para los números reales 0, π/2, π,3/2 π, 2π
Tabla 2.1.1
2.2 VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS π/ 4 , π/ 6 , π / 3 Y SUS MÚLTIPLOS
Tabla 2.2.1
Grados Radiane
s
x y
45º
π
4
2
√
2
2
√
2
135º
3
π
4
−
2
√
2
2
√
2
225º
5
π
4
−
2
√
2
−
2
√
2
315º
7
π
4
2
√
2
−
2
√
2
Tabla 2.2.2
Grados Radiane
s
x y
60º
π
3
1
2
3
√
2
120º
2
π
3
−
1
2
3
√
2
240º
4
π
3
−
1
2
−
3
√
2
300º
5
π
3
1
2
−
3
√
2
Tabla 2.2.3
Grados Radiane
s
x y
30º
π
6
3
√
2
1
2
150º
5
π
6
−
3
√
2
1
2
210º
7
π
6
−
3
√
2
−
1
2
330º
11
π
6
3
√
2
−
1
2
Función 30º 45º 60º
sen
1
2
cos
tan
cot
sec
csc
2.3 DADO EL VALOR DE UNA FUNCIÓN, ENCONTRAR EL VALOR DE TODAS LAS DEMÁS
FUNCIONES
*Dos triángulos son congruentes si se pueden hacer concidir en todas sus partes.
Periodo de las funciones trigonométricas.
REACTIVOS DE AUTOEVALUACIÓN
En los ejercicios del 1 al 11 se recomienda hacer la gráfica de la circunferencia unitaria con las
coordenadas del punto terminal respectivo.
1.
Encontrar el valor exacto de
ct g
π
2
2. Encontrar el valor exacto de
co s
2
π
3.
Encontrar el valor exacto de
ct g
3
π
2
4. Encontrar el valor exacto de
se n
2
π
5.
Encontrar el valor exacto de
ta n
π
2
6.
Encontrar el valor exacto de
co s
3
π
2
7. Encontrar el valor exacto de
ct g π
8. Encontrar el valor exacto de
se c π
9.
Encontrar el valor exacto de
cs c
π
2
10.
Encontrar el valor exacto de
cs c
3
π
2
11. Encontrar el valor exacto de
ta n
0
EN los ejercicios del 12 al 27 se recomienda hacer la gráfica de la circunferencia unitaria con las
coordenadas del punto terminal respectivo.
12.
Encontrar el valor exacto de
co s π
5
4
13.
Encontrar el valor exacto de
cs c π
5
6
14.
Encontrar el valor exacto de
se c π
7
4
15.
Encontrar el valor exacto de
ct g π
2
3
16.
Encontrar el valor exacto de
se c
π
4
17.
Encontrar el valor exacto de
co s π
7
6
18.
Encontrar el valor exacto de
cs c π
4
3
19.
Encontrar el valor exacto de
ta n
π
6
20.
Encontrar el valor exacto de
ct g π
7
4
21.
Encontrar el valor exacto de
cs c π
7
6
22.
Encontrar el valor exacto de
se c π
5
4
23.
Encontrar el valor exacto de
se n π
11
6
24.
Encontrar el valor exacto de
co s π
5
6
25.
Encontrar el valor exacto de
ta n
π
3
26.
Encontrar el valor exacto de
cs c
π
3
27.
Encontrar el valor exacto de
ta n π
7
4
En los problemas del 28 a 32 el punto está localizado en la intersecciñon del segmento de
recta que une el origen con el punto indicado y la circunferencia unitaria. Determinar el valor de las
seis funciones circulares para el respecivo valro de . Para resolver todos los problemas de este
ejercicio es muy conveniente que construya una gráfica en cada uno de ellos.
P
(
θ
)
θ
28. (-4,3)
29. (12,5)
30. (5,-6)
31. (-24,-7)
32. (10,10)
En los problemas del 33 al 37 encontrar, el valor de las cinco funciones circulares que faltan si se
conocen las siguientes condiciones:
En los problemas del 38 al 42, está localizado en la intersección del segmento de recta que une
el origen con el punto (15,8) y la circunferecnia unitaria. Determinar las funciones ciruclares de.
P
(
θ
)
