C18 03.03.2023
viernes, 3 de marzo de 2023 10:06 p. m.
Índice
Módulo 8
Obejtivos específicos
Esquema - Resumen
8.1 TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS A SUMAS Y VICEVERSA.
… (8.1.1)
sen
𝛼
co s
𝛽
= [
sen
(
𝛼
+
𝛽
) +
sen
(
𝛼
−
𝛽
)]
1
2
… (8.1.2)
cos
𝛼
co s
𝛽
= [
cos
(
𝛼
+
𝛽
) +
cos
(
𝛼
−
𝛽
)]
1
2
… (8.1.3_1)
sen
𝛼
se n
𝛽
=
−
[
cos
(
𝛼
+
𝛽
)
−
cos
(
𝛼
−
𝛽
)]
1
2
… (8.1.3_2)
sen
𝛼
se n
𝛽
= [
cos
(
𝛼
−
𝛽
)
−
cos
(
𝛼
+
𝛽
)]
1
2
Ejemplo
1:
Expresar
los
siguinets
productos
como
una
suma
Solución:
Se emplean las ecuaciones 8.1.1, 8.1.2 y 8.1.3_1:
… (8.1.1)
sen
𝛼
co s
𝛽
= [
sen
(
𝛼
+
𝛽
) +
sen
(
𝛼
−
𝛽
)]
1
2
… (8.1.3_1)
sen
𝛼
se n
𝛽
=
−
[
cos
(
𝛼
+
𝛽
)
−
cos
(
𝛼
−
𝛽
)]
1
2
… (8.1.2)
cos
𝛼
co s
𝛽
= [
cos
(
𝛼
+
𝛽
) +
cos
(
𝛼
−
𝛽
)]
1
2
Resultado:
.… 8.1.4
𝒔𝒆𝒏
𝜽
+
𝒔𝒆𝒏
𝝎
= 2
sen co s
𝜃
+
𝜔
2
𝜃
−
𝜔
2
.… 8.1.5
𝒔𝒆𝒏
𝜽
−
𝒔𝒆𝒏
𝝎
= 2
cos se n
𝜃
+
𝜔
2
𝜃
−
𝜔
2
.… 8.1.6
𝒄𝒐𝒔
𝜽
+
𝒄𝒐𝒔
𝝎
= 2
cos co s
𝜃
+
𝜔
2
𝜃
−
𝜔
2
.… 8.1.7
𝒄𝒐𝒔
𝜽
−
𝒄𝒐𝒔
𝝎
=
−
2
sen se n
𝜃
+
𝜔
2
𝜃
−
𝜔
2
Ejemplo
2:
Exprese
como un producto.
sen
𝜃
+
sen
3
𝜃
+
sen
5
𝜃
+
sen
7
𝜃
Sol:
Se aplica la ecuación 8.1.4:
𝒔𝒆𝒏
𝜽
+
𝒔𝒆𝒏
𝝎
= 2
sen co s
𝜃
+
𝜔
2
𝜃
−
𝜔
2
sen
𝜃
+
sen
3
𝜃
= 2
sen co s
= 2
sen
2
𝜃
co s
(
−
𝜃
) = 2
sen
2
𝜃
co s
(
𝜃
)
𝜃
+ 3
𝜃
2
𝜃
−
3
𝜃
2
sen
5
𝜃
+
sen
7
𝜃
= 2
sen
(6
𝜃
)
co s
(
𝜃
)
2
sen
2
𝜃
co s
(
𝜃
) + 2
sen
(6
𝜃
)
co s
(
𝜃
) = 2
co s
𝜃
(
sen
2
𝜃
+
sen
6
𝜃
) = 2
cos
𝜃
(
2
sen
( )
co s
( ))
2
𝜃
+ 6
𝜃
2
2
𝜃
−
6
𝜃
2
= 2
cos
𝜃
(2
sen
(4
𝜃
)
co s
(2
𝜃
)) = 4
cos
𝜃
sen
4
𝜃
co s
2
𝜃
Respuesta:
sen
𝜃
+
sen
3
𝜃
+
sen
5
𝜃
+
sen
7
𝜃
= 4
co s
𝜃
co s
2
𝜃
sen
4
𝜃
Resumen
8.1 TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS A SUMAS Y VICEVERSA.
… (8.1.1)
sen
𝛼
co s
𝛽
= [
sen
(
𝛼
+
𝛽
) +
sen
(
𝛼
−
𝛽
)]
1
2
… (8.1.2)
cos
𝛼
co s
𝛽
= [
cos
(
𝛼
+
𝛽
) +
cos
(
𝛼
−
𝛽
)]
1
2
… (8.1.3_1)
sen
𝛼
se n
𝛽
=
−
[
cos
(
𝛼
+
𝛽
)
−
cos
(
𝛼
−
𝛽
)]
1
2
… (8.1.3_2)
sen
𝛼
se n
𝛽
= [
cos
(
𝛼
−
𝛽
)
−
cos
(
𝛼
+
𝛽
)]
1
2
.… (8.1.4)
𝒔𝒆𝒏
𝜽
+
𝒔𝒆𝒏
𝝎
= 2
sen co s
𝜃
+
𝜔
2
𝜃
−
𝜔
2
.… (8.1.5)
𝒔𝒆𝒏
𝜽
−
𝒔𝒆𝒏
𝝎
= 2
cos se n
𝜃
+
𝜔
2
𝜃
−
𝜔
2
.… (8.1.6)
𝒄𝒐𝒔
𝜽
+
𝒄𝒐𝒔
𝝎
= 2
cos co s
𝜃
+
𝜔
2
𝜃
−
𝜔
2
.… (8.1.7)
𝒄𝒐𝒔
𝜽
−
𝒄𝒐𝒔
𝝎
=
−
2
sen se n
𝜃
+
𝜔
2
𝜃
−
𝜔
2
REACTIVOS DE AUTOEVALUACIÓN
1.- Exprese cada uno de los siguientes productos como una suma:
a)
sen
2
𝜃
co s
3
𝜃
b)
cos co s
𝜃
2
3
𝜃
2
c)
cos
5
𝜃
co s
7
𝜃
d)
sen
3
𝜃
se n
5
𝜃
e)
4
cos co s
𝜋
3
𝜋
6
f)
2
sen
7
𝜃
se n
2
𝜃
g)
3
sen
𝜃
co s
(
−
2
𝜃
)
h)
5
sen
(
−
3
𝜃
)
co s
(
−
𝜃
)
2.- Exprese cada una de las siguientes sumas como un producto.
a)
sen
+
sen
𝜋
3
𝜋
6
b)
sen
8
𝛼
−
sen
2
𝛼
c)
co s
3
𝛽
+
co s
5
𝛽
d)
co s
5
𝛽
−
co s
𝛽
e)
sen
8
𝜃
+
sen
4
𝜃
f)
co s
7
𝜃
−
co s
𝜃
g)
sen
−
sen
5
𝜃
3
5
𝜃
6
h)
co s
𝜃
+
co s
7
𝜃
3.- Verifique las siguientes identidades.
a)
=
ta n
𝜃
co s
5
𝜃
+
co s
3
𝜃
sen
5
𝜃
+
sen
3
𝜃
b)
=
co t
5
𝜃
co s
8
𝜃
+
co s
2
𝜃
sen
8
𝜃
+
sen
2
𝜃
c)
=
ta n
𝜃
se n
6
𝜃
−
se n
4
𝜃
co s
6
𝜃
+
cos
4
𝜃
d)
= 2
cs c
𝜃
𝜃
−
𝜃
cos
2
sen
2
se n
3
𝜃
−
sen
𝜃
d)
+ =
co s
2
𝛼
+
co s
7
𝛼
co s
3
𝛼
+
cos
6
𝛼
co s
6
𝛼
−
co s
𝛼
co s
5
𝛼
−
co s
2
𝛼
2
se n
4
𝛼
sen
3
𝛼
d)
=
ta n
2
𝜃
se n
𝜃
+
sen
2
𝜃
+
sen
3
𝜃
co s
𝜃
+
cos
2
𝜃
+
cos
3
𝜃
