C15 28.02.2023
martes, 28 de febrero de 2023 8:04
5. 2 .1 FUNCIONES DE (-β) EN TÉRMINOS DE β 
Sen(- )
𝛽
-Sen( )
𝛽
Csc(- )
𝛽
-Csc( )
𝛽
cos(- )
𝛽
Cos( )
𝛽
Sec(- )
𝛽
Sec( )
𝛽
tan(- )
𝛽
-tan( )
𝛽
Cot(- )
𝛽
-Cot( )
𝛽
Ejemplos:
*FunciΓ³n Par
co s πœ‹ = 1
co s(βˆ’πœ‹) = 1
*FunciΓ³n Impar
sen
(
)
= 1
πœ‹
2
sen
(
βˆ’
)
= βˆ’1
πœ‹
2
*FunciΓ³n Impar
ta n
(
)
= 1
πœ‹
4
ta n
(
βˆ’
)
= βˆ’1
πœ‹
4
*FunciΓ³n Impar
Cot
(
)
= 1
πœ‹
4
Cot
(
βˆ’
)
= βˆ’1
πœ‹
4
*FunciΓ³n Par
se c(πœ‹) = 1
se c(βˆ’πœ‹) = 1
*FunciΓ³n impar
cs c
(
)
= 1
πœ‹
2
cs c
(
βˆ’
)
= βˆ’1
πœ‹
2
Ejemplo
1:
Cofunciones y funciones de angulos negativos
sen
(
βˆ’ 𝛽
)
3πœ‹
2
SoluciΓ³n:
RelaciΓ³n entre cofunciones:
sen 𝛼 = co s
(
βˆ’ 𝛼
)
πœ‹
2
Resultado:
sen
(
βˆ’ 𝛽
)
= βˆ’co s 𝛽
3πœ‹
2
Resumen:
5.1 Coseno de la diferencia de dos nΓΊmerosβ€―
Inverso multilicativo de los nΓΊmero Reales
a βˆ— = 1
1
a
= 1
a
a
βˆ— = 1
2
β€Ύ
√
2
1
2
√
2
= = 2 βˆ— = 1
2
√
2
2
√
2
2
2
β€Ύ
√
2
2
β€Ύ
√
2
β€Ύ
√
1
2
2
β€Ύ
√
Coseno de la diferencia de dos arcos:
… (3)
co s
(
𝛼 βˆ’ 𝛽
)
= co s 𝛼cos𝛽 + sen𝛼 sen𝛽
5.2 COFUNCIONES
Funciones Co-funciones
sen πœƒ
co s πœƒ
se c πœƒ
cs c πœƒ
ta n πœƒ
β€―
co t πœƒ
sen𝛽 = co s
(
βˆ’ 𝛽
)
πœ‹
2
Cos𝛽 = sen
(
βˆ’ 𝛽
)
πœ‹
2
co t 𝛽 = ta n
(
βˆ’ 𝛽
)
πœ‹
2
ta n 𝛽 = co t
(
βˆ’ 𝛽
)
πœ‹
2
cs c 𝛽 = se c
(
βˆ’ 𝛽
)
πœ‹
2
sec𝛽 = cs c
(
βˆ’ 𝛽
)
πœ‹
2
5. 2 .1 FUNCIONES DE (-β) EN TÉRMINOS DE β 
Sen(- )
𝛽
-Sen( )
𝛽
Csc(- )
𝛽
-Csc( )
𝛽
cos(- )
𝛽
Cos( )
𝛽
Sec(- )
𝛽
Sec( )
𝛽
tan(- )
𝛽
-tan( )
𝛽
Cot(- )
𝛽
-Cot( )
𝛽
REACTIVOS DE AUTOEVALUACIΓ“N
MΓ³dulo 6
6.1 Funciones circulares de la suma de nΓΊmeros realesβ€―
co s
(
𝛼 βˆ’ 𝛽
)
= co s 𝛼cos𝛽 + sen𝛼 sen𝛽
co s
(
𝛼 + 𝛽
)
= co s 𝛼co s 𝛽 βˆ’ sen𝛼se n 𝛽
Convinando ambas expresiones
.…
(6.1.1)
co s
(
𝛼 Β± 𝛽
)
= co s 𝛼co s 𝛽 βˆ“ sen𝛼se n 𝛽
Suma o diferencia de Γ‘ngulos para el seno :
…
(6.1.2)
sen
(
𝛼 Β± 𝛽
)
= sen 𝛼 cos𝛽
Β± cos 𝛼sen 𝛽
Suma o diferencia de Γ‘ngulos para la tangente:
. . . (6.1.3)
ta n
(
𝛼 Β± 𝛽
)
=
ta n 𝛼 Β± ta n 𝛽
1 βˆ“ ta n 𝛼ta n 𝛽
Ejemplo 1: Encuentre el valor exacto de:
A)
sen
πœ‹
12
SoluciΓ³n:
Se emplea la ecuaciΓ³n 6.1.2 " Seno de la diferencia o suma de dos arcos":
sen
(
𝛼 Β± 𝛽
)
= sen 𝛼 cos𝛽
Β±co s 𝛼sen𝛽
AdemΓ‘s se descompone el Γ‘ngulo en la suma o diferencia de 2 Γ‘ngulos
Ejemplo:
πœ‹
12
= 𝛼 Β± 𝛽
πœ‹
12
= 𝛼 Β± 𝛽
πœ‹
12
, , , πœ‹
πœ‹
3
πœ‹
4
πœ‹
6
= + 𝛽
πœ‹
12
πœ‹
3
𝛽 = βˆ’ = = βˆ’ = βˆ’
πœ‹
12
πœ‹
3
πœ‹ βˆ’ 4πœ‹
12
3πœ‹
12
πœ‹
4
= βˆ’
πœ‹
12
πœ‹
3
πœ‹
4
Resultado:
sen =
πœ‹
12
βˆ’
6
β€Ύ
√
2
β€Ύ
√
4
B)
cos
πœ‹
12
SoluciΓ³n:
Se emplea la ecuaciΓ³n 6.1.1 " Coseno de la diferencia o suma de dos arcos":
co s
(
𝛼 Β± 𝛽
)
= co s 𝛼co s 𝛽 βˆ“ sen𝛼se n 𝛽
Resultado:
cos =
πœ‹
12
+
6
β€Ύ
√
2
β€Ύ
√
4
C)
tan
πœ‹
12
SoluciΓ³n:
Se emplea la ecuaciΓ³n 6.1.3 " Tangente de la diferencia o suma de dos arcos":
ta n
(
𝛼 Β± 𝛽
)
=
ta n 𝛼 Β± ta n 𝛽
1 βˆ“ ta n 𝛼ta n 𝛽
Resultado:
tan =
πœ‹
12
βˆ’ 1
3
β€Ύ
√
+ 1
3
β€Ύ
√
Ejemp
lo 2:
Si y , no estΓ‘ en el tercer
cuadrante y encuentre los valores exactos
de:
co t 𝛼 =
4
3
se c 𝛽 =
13
5
P(𝛼)
< 𝛽 ≀ 2πœ‹
3πœ‹
2
a. b) c)
sen
(
𝛼 + 𝛽
)
co s
(
𝛼 + 𝛽
)
ta n
(
𝛼 βˆ’ 𝛽
)
SoluciΓ³n:
Se emplean la tabla 4.1.1 y las ecuaciones 6.1.1, 6.1.2 y 6.1.3:
Tabla 4.1.1
a. pitagΓ³ricas b. de
cocientes
se 𝛼 + co 𝛼 = 1
n
2
s
2
cot𝛼 =
cos𝛼
sen𝛼
sen
(
𝛼 Β± 𝛽
)
= sen 𝛼 cos𝛽
Β±co s 𝛼sen𝛽
co s
(
𝛼 Β± 𝛽
)
= co s 𝛼co s 𝛽 βˆ“ sen𝛼se n 𝛽
ta n
(
𝛼 Β± 𝛽
)
=
ta n 𝛼 Β± ta n 𝛽
1 βˆ“ ta n 𝛼ta n 𝛽
Resultado:
sen
(
𝛼 + 𝛽
)
= βˆ’
33
65
co s
(
𝛼 + 𝛽
)
=
56
65
ta n
(
𝛼 βˆ’ 𝛽
)
= βˆ’
63
16
Ejemplo
3:
Expresar las siguientes proposiciones en terminos de
una funciΓ³n de .
πœƒ
a. b)
co s
(
+ πœƒ
)
πœ‹
6
co t
(
βˆ’ πœƒ
)
3πœ‹
4
SoluciΓ³n:
Se emplean la tabla 4.1.1 y las ecuaciones 6.1.1 y 6.1.3:
Tabla 4.1.1:
c. de
recΓ­procos
ta n 𝛼co t 𝛼 = 1
co s
(
𝛼 Β± 𝛽
)
= co s 𝛼co s 𝛽 βˆ“ sen𝛼se n 𝛽
ta n
(
𝛼 Β± 𝛽
)
=
ta n 𝛼 Β± ta n 𝛽
1 βˆ“ ta n 𝛼ta n 𝛽
Resultado:
a)
co s
(
+ πœƒ
)
= cosπœƒ βˆ’ sen πœƒ
πœ‹
6
3
β€Ύ
√
2
1
2
b)
co t
(
βˆ’ πœƒ
)
=
3πœ‹
4
ta n πœƒ βˆ’ 1
ta n πœƒ + 1